玻尔模型与氢原子能级跃迁
玻尔认为，氢原子中的电子只能在一些特定的轨道上运动，原子只能处于一系列不连续的能量状态（能级）；原子从高能级跃迁到低能级时放出一个光子，光子能量等于两能级之差：hν = Em − En。氢原子的能级 En = E1/n²，E1 = −13.6 eV，轨道半径 rn = n²r1。能级是分立的，所以氢原子光谱是一条条分立的亮线；一群处于 n 能级的氢原子最多能辐射 C(n,2) = n(n − 1)/2 种不同频率的光。
氢原子光谱与巴耳末公式
让氢气放电发光，用分光镜观察，看到的不是连续的彩带，而是几条分立的亮线——这是线状谱。每种原子都有自己的特征谱线，可以用来鉴别物质（光谱分析）。氢原子光谱在可见光区有四条谱线：Hα 656.3 nm（红）、Hβ 486.1 nm（青）、Hγ 434.1 nm（蓝紫）、Hδ 410.2 nm（紫）。1885 年巴耳末发现它们满足
1/λ = R∞(1/2² − 1/n²) n = 3, 4, 5, … R∞ = 1.10×10⁷ m⁻¹
这组谱线叫巴耳末系。后来又在紫外区发现了莱曼系、在红外区发现了帕邢系等，它们满足形式类似的公式，只是把 1/2² 换成了 1/1²、1/3²。经典电磁理论认为绕核运动的电子会不断辐射电磁波、能量减少而落到核上，辐射的频率连续变化——既不能解释原子的稳定，也不能解释线状谱。
玻尔原子理论的三条假设
- 轨道量子化：电子绕核运动的轨道半径不是任意的，只能取某些分立的数值，rn = n²r1（n = 1, 2, 3, …），r1 = 0.53×10⁻¹⁰ m。
- 定态：电子在这些轨道上运动时虽然有加速度，但不向外辐射能量，原子处于稳定的状态，叫定态。能量最低的状态叫基态（n = 1），其他状态叫激发态。各定态的能量值叫能级：En = E1/n²。
- 频率条件：电子从能量较高的定态轨道（Em）跃迁到能量较低的定态轨道（En）时，放出能量为 hν 的光子，hν = Em − En；反过来，原子吸收能量恰好为 Em − En 的光子，可以从低能级跃迁到高能级。
能级的值以电子离核无限远（n = ∞）时为 0，所以各能级都是负值：E1 = −13.6 eV，E2 = −3.4 eV，E3 = −1.51 eV，E4 = −0.85 eV，E5 = −0.54 eV，E6 = −0.38 eV。电子在第 n 条轨道上的动能 Ek = −En、电势能 Ep = 2En：n 越大，轨道越高，动能越小，电势能越大，总能量越大。
例：从 n = 3 跃迁到 n = 2，hν = E3 − E2 = −1.51 − (−3.4) = 1.89 eV，λ = hc/(E3 − E2) ≈ 656 nm，正是 Hα 红光；从 n = 2 跃迁到 n = 1，hν = 10.2 eV，λ ≈ 122 nm，在紫外区。可见光的光子能量为 1.62～3.11 eV，只有巴耳末系中的几条落在这个范围里。
吸收光子与电子碰撞
原子吸收光子是“全有或全无”的：一个光子要么被整个吸收，要么不吸收。所以基态氢原子只能吸收能量恰好为 10.2 eV、12.09 eV、12.75 eV……的光子；11 eV 的光子不被吸收，直接穿过。但如果光子能量 ≥ 13.6 eV（电离能），就能使基态氢原子电离，多出来的能量成为电子的动能——电离后电子的能量可以连续取值，不受能级限制。
用电子碰撞原子时，电子可以只把一部分动能交给原子，带着剩下的动能离开。所以只要入射电子的动能大于或等于某个能级差，就可能使原子跃迁：11 eV 的电子能使基态氢原子跃迁到 n = 2（交出 10.2 eV，自己剩 0.8 eV），但到不了 n = 3。
| 线系 | 跃迁到 | 波段 | 谱线举例（λ / nm） |
|---|---|---|---|
| 莱曼系 | n = 1 | 紫外 | 2→1：121.6，3→1：102.6，4→1：97.3，极限 91.2 |
| 巴耳末系 | n = 2 | 可见光及近紫外 | Hα 3→2：656.3，Hβ 4→2：486.1，Hγ 5→2：434.1，Hδ 6→2：410.2 |
| 帕邢系 | n = 3 | 红外 | 4→3：1875，5→3：1282，6→3：1094 |
| 问题 | 结论 | 例（n = 4） |
|---|---|---|
| 一群原子辐射几种光 | C(n,2) = n(n − 1)/2 | 6 种 |
| 一个原子最多几种光 | n − 1（逐级向下跳） | 3 种 |
| 波长最长（能量最小） | 相邻最高两能级 n → n − 1 | 4→3，0.66 eV，1875 nm |
| 频率最高（能量最大） | 直接跳到基态 n → 1 | 4→1，12.75 eV，97 nm |
| 光子被吸收的条件 | 恰好等于能级差，或 ≥ 电离能 | 基态：10.2、12.09、12.75、≥ 13.6 eV |
| 电子碰撞激发的条件 | 电子动能 ≥ 能级差 | 12.9 eV 的电子最高激发到 n = 4 |
| 电离能 | 0 − En = 13.6/n² eV | 0.85 eV |
用这个模型做实验
- 在「能级跃迁」里点能级图上的 n = 3：一个 12.09 eV 的光子从左边飞来被吸收，电子跳到 n = 3 的轨道（半径变为 9 倍）。再点 n = 2，放出一个 1.89 eV 的红色光子（656 nm），再点 n = 1，放出 10.2 eV 的紫外光子。
- 回到基态，把射入粒子的能量设为 11.00 eV，射入光子：光子穿过原子，不被吸收。改成「电子（碰撞）」再射入：原子跃迁到 n = 2，入射电子带着 0.8 eV 继续前进。
- 射入 15.00 eV 的光子，原子电离，电子带着 1.4 eV 的动能飞走；再点任一能级，H⁺ 俘获电子并放出光子。
- 勾选“自发跃迁”，把原子激发到 n = 4 或更高，看它一级一级或直接跳回基态，每次放出的光子颜色都不同。
- 到「谱线系与光谱」，选 n = 4：能级图上画出 6 种跃迁，光谱条上出现 6 条谱线，其中 2 条（Hα、Hβ）在可见光区。依次选莱曼、巴耳末、帕邢系，对照能级图上跳到 n = 1、2、3 的箭头；切换到吸收光谱，看暗线和亮线位置一一对应。
- 到「判断练习」，做几道常考题，答完后能级图上会画出相关跃迁。
常见问题
一群处于 n = 4 能级的氢原子最多能辐射几种光子？一个氢原子呢？
一群氢原子数量很多，各种可能的跃迁都会发生，任取两个能级就对应一种光子，所以有 C(4,2) = 4×3/2 = 6 种：4→3、4→2、4→1、3→2、3→1、2→1。一个氢原子在某一时刻只处于一个能级，一次跃迁只放出一个光子，最多是逐级向下跳 4→3→2→1，共 n − 1 = 3 种。
为什么基态氢原子不能吸收 11 eV 的光子，却能被 11 eV 的电子激发？
光子被原子吸收时是整个吸收的，能量必须恰好等于两个能级之差：基态到 n = 2 需要 10.2 eV，到 n = 3 需要 12.09 eV，11 eV 两个都不等于，所以不被吸收。电子与原子碰撞时，电子可以只交出一部分动能，原子取走 10.2 eV 跃迁到 n = 2，电子带着剩下的 0.8 eV 离开。所以光子要“恰好等于”，电子只要“大于或等于”。
能量大于 13.6 eV 的光子能被基态氢原子吸收吗？
能。13.6 eV 是基态氢原子的电离能，即把电子从 n = 1 移到 n = ∞（E = 0）所需的能量。能量大于或等于 13.6 eV 的光子都能被吸收并使原子电离，多出的能量成为电子的动能。电离后的自由电子能量可以连续取值，不再受“恰好等于能级差”的限制。处于 n = 2 的氢原子电离只需 3.4 eV。
电子从低轨道跃迁到高轨道，动能、势能和总能量怎样变化？
由库仑力提供向心力 ke²/r² = mv²/r，得 Ek = ke²/(2r)，r 越大动能越小；电势能 Ep = −ke²/r，r 越大电势能越大；总能量 E = Ek + Ep = −ke²/(2r)，也随 r 增大而增大。所以向高轨道跃迁时，动能减小、电势能增大、总能量增大（要吸收能量）；向低轨道跃迁时正好相反，放出光子。氢原子中 Ek = −En、Ep = 2En。
为什么氢原子光谱是线状谱？发射光谱和吸收光谱有什么关系？
原子的能级是分立的，两个能级之差也只有一些确定的值，由 hν = Em − En，放出的光子频率只有一些确定的值，所以光谱是一条条分立的亮线（发射光谱）。白光通过温度较低的氢气时，能量恰好等于能级差的光子被吸收，在连续光谱的背景上出现暗线（吸收光谱）。同一种原子的吸收谱线与发射谱线位置一一对应，都是这种原子的特征谱线，可以用来做光谱分析。
玻尔模型有什么成功之处和局限？
玻尔模型第一次把量子观念引入原子领域，提出了定态和跃迁的概念，成功解释了氢原子光谱的实验规律，算出的谱线波长与实验符合得很好。但它保留了经典粒子和轨道的概念，无法解释核外电子较多的原子的光谱，也不能解释谱线的强度。在量子力学中，电子没有确定的轨道，只能用电子云描述它在各处出现的概率，玻尔轨道半径对应电子出现概率最大的位置。
适用课程
人教版高中物理选择性必修第三册第四章《原子结构和波粒二象性》第 4 节“氢原子光谱和玻尔的原子模型”（第 2 节“光电效应”中的光子能量 ε = hν、第 3 节“原子的核式结构模型”是基础）。常见题型有“一群或一个氢原子跃迁辐射几种光子”“由能级图求光子能量、波长、频率，比较波长长短”“判断光子或电子能否使原子跃迁、电离”“跃迁时电子动能、电势能的变化”“氢原子跃迁辐射的光照射金属发生光电效应”等。化学选择性必修 2《物质结构与性质》中的原子光谱、基态与激发态也用到这里的结论。