开普勒定律
开普勒三定律描述了行星绕太阳运动的规律：轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（第一定律）；行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等（第二定律）；所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方之比都相等，a³/T² = k（第三定律）。由此可知，行星离太阳越近走得越快，在近日点速率最大、远日点最小；轨道越大，周期越长。k 只由中心天体决定，这三条定律同样适用于卫星绕行星的运动。
从“匀速圆周”到椭圆
古人认为天体做最“完美”的匀速圆周运动。开普勒用第谷二十多年的精确观测数据计算火星轨道，发现按匀速圆周运动推算的位置与观测相差 8′，他没有放过这个误差，最终发现行星轨道是椭圆，并总结出三条定律（第一、二定律发表于 1609 年，第三定律发表于 1619 年）。开普勒定律是从观测数据中总结出的经验定律，几十年后牛顿用万有引力定律从理论上解释了它们。
第一定律：椭圆轨道
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于定值 2a——用一根细绳两端固定在两个图钉上，用笔把绳拉紧画一圈，就画出了椭圆。a 叫半长轴，b 叫半短轴，c 是中心到焦点的距离，三者满足 a² = b² + c²；偏心率 e = c/a 描述椭圆的扁平程度，e = 0 时是正圆。太阳在椭圆的一个焦点上，另一个焦点上什么也没有。行星离太阳最近的点叫近日点（距离 a − c），最远的点叫远日点（距离 a + c）。
第二定律：相等时间扫过相等面积
把行星的一个周期分成相等的若干段，每段时间内行星与太阳的连线扫过一个扇形，这些扇形的面积都相等。近日点附近的扇形“短而宽”，远日点附近的扇形“长而窄”，所以行星在近日点附近走过的弧长，速率大；在远日点附近速率小。在近日点和远日点，速度与连线垂直，取很短的时间 Δt：½v_p·Δt·r_p = ½v_a·Δt·r_a，得 v_p : v_a = r_a : r_p。注意第二定律只针对同一颗行星，不同行星在相等时间内扫过的面积并不相等。
第三定律：a³/T² = k
a³ / T² = k（k 只与中心天体有关）
| 行星 | 半长轴 a / AU | 周期 T / 年 | 偏心率 e | a³/T² |
|---|---|---|---|---|
| 水星 | 0.387 | 0.241 | 0.206 | 1.00 |
| 金星 | 0.723 | 0.615 | 0.007 | 1.00 |
| 地球 | 1.000 | 1.000 | 0.017 | 1.00 |
| 火星 | 1.524 | 1.881 | 0.093 | 1.00 |
| 木星 | 5.20 | 11.86 | 0.048 | 1.00 |
| 土星 | 9.54 | 29.46 | 0.054 | 1.00 |
| 天王星 | 19.19 | 84.01 | 0.047 | 1.00 |
| 海王星 | 30.07 | 164.8 | 0.009 | 1.00 |
以地球为参照（a = 1 AU、T = 1 年），绕太阳运动的天体 T = a^(3/2) 年。例：某小行星半长轴 4 AU，周期 T = 4^(3/2) = 8 年；哈雷彗星周期约 76 年，半长轴 a = 76^(2/3) ≈ 18 AU。两颗行星半长轴之比 1 : 4，周期之比就是 1 : 8。绕地球运动的月球、同步卫星和空间站有另一个相同的 k；绕木星运动的木卫一至木卫四又是另一个 k。
中学阶段的近似：圆轨道
多数行星轨道的偏心率很小，与圆十分接近。在中学阶段，可以把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动：太阳处在圆心；行星的角速度（线速度大小）不变；所有行星轨道半径 r 的三次方跟公转周期 T 的二次方的比都相等，r³/T² = k。
用这个模型做实验
- 在「第一定律」里拖动偏心率滑块，从 0 增大到 0.97，看正圆变成越来越扁的椭圆，太阳始终在一个焦点上；勾选“细绳画椭圆”，拖动行星，读数中 r₁ + r₂ 始终等于 2a。
- 依次点“地球”“水星”“哈雷彗星”，比较真实天体轨道的扁平程度：地球的轨道几乎是正圆，哈雷彗星的轨道又细又长。
- 到「第二定律」，看近日点与远日点附近两个等时间扇形，一个短而宽、一个长而窄，面积相同；切换到“一周等分”，看每段扇形面积都相等，行星在近日点附近飞快掠过、在远日点附近慢慢爬行。读出 v_p : v_a 与 r_a : r_p 相等。
- 到「第三定律」，看八大行星的数据表，a³/T² 都约等于 1；T²–a³ 图像是过原点的直线，切换到双对数坐标是斜率 3/2 的直线。拖动“自定义天体”的半长轴，看它的周期怎样变化、点始终落在直线上。
- 把中心天体换成木星和地球，看 k 变了，但同一中心天体的各卫星 a³/T² 仍相同。最后到「判断练习」做题。
常见问题
开普勒三定律分别是什么？
第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 a³/T² = k。
为什么行星在近日点速度大、远日点速度小？
由第二定律，相等时间内扫过的面积相等。近日点离太阳近，扇形“短而宽”，同样的面积对应更长的弧，所以速率大；远日点离太阳远，扇形“长而窄”，弧短，速率小。在近日点和远日点，速度与连线垂直，取很短的时间 Δt，½v_p·Δt·r_p = ½v_a·Δt·r_a，所以 v_p : v_a = r_a : r_p。
a³/T² = k 中的 k 与什么有关？
k 只与中心天体有关，与环绕天体无关。八大行星绕太阳运动，k 相同，以 AU 和年为单位时 k ≈ 1；木星的四颗卫星绕木星运动，有另一个相同的 k；月球和人造卫星绕地球运动，又是另一个 k。学了万有引力定律后可以知道 k = GM/(4π²)，M 是中心天体的质量。
开普勒第三定律能用于月球和人造卫星吗？
能。开普勒定律虽然是从行星绕太阳的运动总结出来的，但对卫星绕行星的运动同样适用，只是 k 要换成以该行星为中心天体的值。比较同步卫星与月球、近地卫星与同步卫星时可以用 a³/T² 相等；但不能拿绕地球的月球和绕太阳的地球列等式，因为中心天体不同。
为什么中学常把行星轨道看成圆？
大多数行星轨道的偏心率很小，例如地球约 0.017、金星约 0.007，椭圆与正圆几乎看不出差别。所以中学阶段可以近似认为行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳在圆心，此时第三定律写成 r³/T² = k，r 为轨道半径。水星（约 0.21）、冥王星和哈雷彗星（约 0.97）的轨道则明显是椭圆。
地球什么时候离太阳最近？为什么北半球夏半年比冬半年长？
地球每年 1 月初经过近日点（约 1.47 亿 km），7 月初经过远日点（约 1.52 亿 km）。由第二定律，近日点公转速率最大（约 30.3 km/s），远日点最小（约 29.3 km/s）。北半球夏半年（春分到秋分）地球在远日点附近，走得慢，约 186 天；冬半年在近日点附近，走得快，约 179 天。季节冷暖主要由太阳高度和昼长决定，不是由日地距离决定。
适用课程
人教版高中物理必修第二册第七章《万有引力与宇宙航行》第 1 节“行星的运动”，也是第 2 节“万有引力定律”（由第三定律推导引力与距离平方成反比）和第 4 节“宇宙航行”的基础；高中地理选择性必修 1 中地球公转速度的变化也用到第二定律。常见题型有“判断行星在近日点、远日点的速率大小”“由 v_p·r_p = v_a·r_a 求速率之比”“由 a³/T² = k 求周期或半长轴之比”“哈雷彗星回归周期与半长轴”“判断 k 由什么决定、能否用于不同中心天体”等。