宇宙速度与卫星变轨
第一宇宙速度 7.9 km/s 是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造卫星的最小发射速度和最大环绕速度；第二宇宙速度 11.2 km/s 是挣脱地球引力束缚的最小发射速度；第三宇宙速度 16.7 km/s 是挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。卫星绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，轨道越高，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大。卫星变轨靠发动机点火：加速后做离心运动，升到更高的轨道；减速后做向心运动，降到更低的轨道。
第一宇宙速度怎样算出来
牛顿设想：在高山上水平抛出物体，速度越大落得越远；速度足够大时，物体将不再落回地面，而是绕地球运动，成为人造地球卫星。物体贴着地面绕地球做匀速圆周运动时，万有引力（近似等于重力）提供向心力：
GMm/R² = mv²/R，v = √(GM/R)；或 mg = mv²/R，v = √(gR) = √(9.8 × 6.4 × 10⁶) m/s ≈ 7.9 km/s
轨道半径越大，所需的环绕速度 √(GM/r) 越小；但要把卫星送到更高的轨道，必须克服引力做更多的功，所以发射速度反而更大。因此 7.9 km/s 既是最大的环绕速度，又是最小的发射速度。
三个宇宙速度
| 地面附近的发射速度 v | 物体的运动 | 说明 |
|---|---|---|
| v < 7.9 km/s | 落回地面 | 引力大于所需向心力，做向心运动 |
| v = 7.9 km/s | 贴近地面做匀速圆周运动 | 第一宇宙速度（环绕速度） |
| 7.9 km/s < v < 11.2 km/s | 沿椭圆轨道绕地球运行 | 发射点是近地点，速度越大椭圆越扁长 |
| 11.2 km/s ≤ v < 16.7 km/s | 挣脱地球引力，绕太阳运行 | 第二宇宙速度（逃逸速度） |
| v ≥ 16.7 km/s | 挣脱太阳引力，飞出太阳系 | 第三宇宙速度 |
第二宇宙速度是第一宇宙速度的 √2 倍：11.2 ≈ 7.9 × 1.414。在高处发射时，环绕速度和逃逸速度都比地面附近小，例如 200 km 高处分别约为 7.79 km/s 和 11.0 km/s。
人造卫星的运行规律
GMm/r² = mv²/r = mω²r = m(4π²/T²)r = ma
| 物理量 | 公式 | 随轨道半径 r 增大 |
|---|---|---|
| 线速度 | v = √(GM/r) | 减小 |
| 角速度 | ω = √(GM/r³) | 减小 |
| 周期 | T = 2π√(r³/GM) | 增大（近地卫星约 84 分钟，是最小周期） |
| 向心加速度 | a = GM/r² | 减小 |
这就是“高轨低速长周期”。r 是到地心的距离，等于地球半径 R 加上卫星离地面的高度 h。地球同步卫星的周期等于地球自转周期（约 24 h），轨道在赤道平面内，离地面高度约 3.6 × 10⁴ km，运行速度约 3.1 km/s，从地面看它静止在赤道上空某处。
卫星变轨
发射同步卫星时，一般先把卫星送入近地圆轨道 1，在 P 点点火加速，进入椭圆转移轨道 2（P 为近地点、远地点 Q 在同步轨道高度上），到 Q 点再次点火加速，进入同步圆轨道 3。这种两次点火的转移轨道叫霍曼转移。
- 速度：P 点加速才能离心，vP > v1；Q 点卫星做向心运动，vQ < v3；圆轨道 v1 > v3。所以 vP > v1 > v3 > vQ。
- 加速度：a = GM/r² 只由到地心的距离决定。卫星在轨道 1 和轨道 2 上经过 P 点的加速度相同，在轨道 2 和轨道 3 上经过 Q 点的加速度也相同。
- 周期：由开普勒第三定律 a³/T² = k，半长轴（半径）越大周期越大，T1 < T2 < T3。
- 机械能：在同一轨道上只有引力做功，机械能守恒；两次点火发动机都做正功，E1 < E2 < E3。返回时反过来，在 Q、P 两点点火减速。
本模型的简化：只计地球引力（二体问题），不计空气阻力、地球自转对发射的帮助和其他天体的引力；点火在瞬间完成。地球半径取 6371 km，GM = 3.986 × 10¹⁴ m³/s²，算得第一宇宙速度 7.91 km/s、第二宇宙速度 11.19 km/s。第三宇宙速度涉及太阳引力，只在正文和练习中出现。
用这个模型做实验
- 在「宇宙速度」里把发射高度设为 200 km，从 6 km/s 开始逐渐增大发射速度，依次看到落回地面、落得越来越远、绕地球做圆周运动、沿越来越扁长的椭圆运行、一去不返。旧轨迹会留在画面上。
- 点“环绕速度”和“逃逸速度”，读出该高度的两个速度；把高度调到 0，对照 7.9 km/s 和 11.2 km/s。
- 到「环绕规律」，拖动卫星 A 的高度，看 v、T 在曲线上的位置。同步卫星始终停在赤道上红色地面站的正上方。
- 到「卫星变轨」选“霍曼转移”，依次点“P 点加速”“Q 点加速”，读出 vP、v1、v3、vQ 的大小关系和两次点火的 Δv；再点减速返回。勾选加速度，比较同一点在两条轨道上的加速度。
- 切到“自由点火”，只靠加速、减速按钮把卫星从轨道 1 送到轨道 3；再试试在任意位置减速过多，卫星会坠落。最后到「判断练习」做题。
常见问题
第一宇宙速度为什么既是最小发射速度，又是最大环绕速度？
卫星做圆周运动的环绕速度 v = √(GM/r)，轨道半径越小速度越大，近地卫星的轨道半径最小（约等于地球半径 R），所以 7.9 km/s 是最大的环绕速度。发射时要让卫星至少能贴着地面绕地球运动，速度不能小于 7.9 km/s；轨道越高，克服引力做功越多，需要的发射速度越大，所以 7.9 km/s 也是最小的发射速度。
卫星的发射速度和运行速度有什么区别？
发射速度是卫星在地面附近离开发射装置时的速度，运行速度（环绕速度）是卫星在轨道上绕地球运动的速度。发射速度至少为 7.9 km/s，小于 11.2 km/s 时卫星仍绕地球运动；卫星上升过程中引力做负功，到达较高轨道后运行速度小于 7.9 km/s。例如同步卫星的运行速度只有约 3.1 km/s。
为什么卫星的轨道越高，运行速度越小、周期越大？
卫星绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力：GMm/r² = mv²/r，得 v = √(GM/r)；同理 ω = √(GM/r³)，a = GM/r²，T = 2π√(r³/GM)。轨道半径 r 越大，v、ω、a 越小，T 越大，简称“高轨低速长周期”。这些量都只由轨道半径决定，与卫星的质量无关。
卫星变轨时，同一点在不同轨道上的速度和加速度怎么比较？
比较加速度看万有引力：a = GM/r²，同一点到地心的距离相同，不论在哪条轨道上加速度都相同。比较速度看点火：由内轨道进入外轨道要在该点加速，所以外轨道上的速度大，例如 P 点 vP（椭圆）> v1（圆），Q 点 v3（圆）> vQ（椭圆）。不同圆轨道之间用 v = √(GM/r) 比较，椭圆轨道上近地点速度大于远地点速度。
地球同步卫星有什么特点？
同步卫星相对地面静止，它的周期等于地球自转周期（约 24 h），角速度与地球自转相同；轨道平面与赤道平面重合，只能定点在赤道正上方；由 T = 2π√(r³/GM) 可知轨道半径一定，离地面高度约 3.6 × 10⁴ km，运行速度约 3.1 km/s，小于第一宇宙速度。所有同步卫星的周期、高度、速度大小都相同，质量可以不同。
飞船能在同一轨道上加速追上前面的空间站吗？
不能。飞船在同一轨道上加速后，所需向心力大于万有引力，会做离心运动跑到更高的轨道上，而高轨道上的运行速度更小，反而追不上。实际对接时，飞船先在比空间站低的轨道上运行，适时加速，沿椭圆轨道上升，恰好在空间站所在轨道处与它相遇。
适用课程
人教版高中物理必修第二册第七章《万有引力与宇宙航行》第 3 节“万有引力理论的成就”、第 4 节“宇宙航行”。常见题型有“第一宇宙速度的推导和计算”“发射速度与环绕速度的区别”“比较不同轨道上卫星的 v、ω、T、a”“同步卫星的特点”“卫星变轨中同一点不同轨道上速度、加速度的比较”“变轨前后周期、机械能的比较”“飞船与空间站的对接”等。