圆周运动与向心力
做匀速圆周运动的物体，所受合力始终指向圆心，叫作向心力，大小 F = mω²r = mv²/r。向心力是按效果命名的力，由重力、弹力、摩擦力中的某个力或几个力的合力提供：转盘上的物块靠静摩擦力，圆锥摆靠重力与拉力的合力，汽车过拱桥靠重力与支持力的合力。提供的力小于所需向心力时，物体做离心运动；拱桥顶的临界速度是 √(gR)，竖直面内绳拴小球过最高点的最小速度也是 √(gR)。
描述圆周运动的物理量
- 线速度 v：v = Δs/Δt，方向沿圆周的切线方向。匀速圆周运动线速度大小不变、方向时刻改变，是变速运动。
- 角速度 ω：ω = Δθ/Δt，单位 rad/s。同一转盘上各点（同轴转动）角速度相同。
- 周期 T、转速 n：T = 2πr/v = 2π/ω，n = 1/T（单位 r/s）。
- 关系：v = ωr。同轴转动 ω 相同，v ∝ r；皮带、齿轮传动边缘线速度相同，ω ∝ 1/r。
向心力与向心加速度
Fn = mω²r = mv²/r = m(4π²/T²)r；an = ω²r = v²/r = ωv
向心力只改变速度的方向、不改变速度的大小。用向心力演示器探究可得：质量、角速度相同时 F ∝ r；质量、半径相同时 F ∝ ω²；角速度、半径相同时 F ∝ m。
四种常见模型
| 模型 | 向心力来源 | 关键关系 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 转盘上的物块 | 静摩擦力 | f = mω²r ≤ μmg | ω0 = √(μg/r)，与 m 无关；r 大的先滑 |
| 圆锥摆 | 重力与拉力的合力 | mg tanθ = mω²·Lsinθ | T = 2π√(Lcosθ/g)，拉力 F = mg/cosθ |
| 光滑圆锥筒内的小球 | 重力与支持力的合力 | mg/tanα = mv²/r | v = √(gh)，a、N 与高度无关；越高 v 越大、ω 越小、T 越大 |
| 汽车过拱桥最高点 | 重力与支持力的合力 | mg − N = mv²/R | N < mg 失重；v = √(gR) 时 N = 0 |
| 汽车过凹形桥最低点 | 支持力与重力的合力 | N − mg = mv²/R | N > mg 超重 |
| 绳拴小球 / 内轨道 | 重力与拉力的合力 | 最高点 mg + T = mv²/R | 最高点 v ≥ √(gR)，最低点 v0 ≥ √(5gR) |
| 轻杆连小球 / 圆管 | 重力与杆的弹力的合力 | 最高点 mg ± F = mv²/R | 最高点 v ≥ 0，最低点 v0 ≥ 2√(gR) |
例：转盘上的物块离轴 0.2 m，与盘面间的动摩擦因数为 0.4（g 取 10 m/s²），ω0 = √(0.4 × 10 / 0.2) ≈ 4.5 rad/s。汽车以 10 m/s 通过半径 40 m 的拱桥顶，N = m(10 − 100/40) = 0.75mg；临界速度 √(10 × 40) = 20 m/s。
离心运动
做圆周运动的物体，当提供的合力突然消失或不足以提供所需的向心力时，物体会逐渐远离圆心，叫作离心运动；合力突然消失时，物体沿切线方向飞出。洗衣机脱水、离心分离器利用离心运动；汽车转弯限速、砂轮限制转速是为了防止离心运动。模型中物块开始滑动后，滑动摩擦力仍然存在，所以轨迹不是沿切线的直线，而是一条向外弯出去的曲线，离开盘边后才做直线运动。
用这个模型做实验
- 在「转盘」里勾选物块 B，点“从 0 缓慢增大 ω”，看下方两条“所需向心力”条哪条先超过 μmg 的竖线，B（半径 2r）先滑出；改变质量 m，滑动时的角速度不变。
- 到「圆锥摆」，增大摆角 θ，看拉力 T 变大、周期变短；勾选“同高的摆”，两摆始终在同一竖直面内转动，周期相同。切换到圆锥筒，勾选小球 B，看高处的球转得慢、线速度大，但两球的加速度、所受支持力相同。
- 到「过拱桥」，加大车速，看下方 N–x 图在桥顶下凹，N 越来越小；点“取临界速度 √(gR)”，桥顶的 N 恰好为 0，再加速汽车就在到达桥顶前飞离桥面。切换到凹形桥，看 N 在桥底大于 mg。
- 到「竖直圆周」，选绳模型，依次点 √(2gR)、√(5gR) 等预设速度，看小球来回摆动、绳在上半圆松弛后斜抛、恰好通过最高点三种情形；换成杆模型，看最高点杆的作用力由支持力变为拉力。
常见问题
向心力是一种新的力吗？受力分析时要不要画向心力？
不是。向心力是按作用效果命名的力，它可以由重力、弹力、摩擦力中的某一个力提供，也可以由几个力的合力（或某个力的分力）提供。受力分析时只画重力、弹力、摩擦力等性质力，不能再额外画一个“向心力”。做匀速圆周运动的物体，所受合力就是向心力，方向始终指向圆心。
转盘上的物块为什么转快了会滑出去？哪个物块先滑？
物块随转盘转动时，静摩擦力提供向心力：f = mω²r。静摩擦力有最大值，约为 μmg，所以 mω²r ≤ μmg，临界角速度 ω0 = √(μg/r)，与物块质量无关。角速度超过 ω0 后，静摩擦力不足以提供所需的向心力，物块相对转盘滑动，做远离圆心的离心运动。同一转盘上离轴越远的物块 ω0 越小，越先滑动。
圆锥摆的周期由什么决定？
圆锥摆中重力和拉力的合力提供向心力：mg·tanθ = mω²·Lsinθ，得 ω = √(g/(Lcosθ))，周期 T = 2π√(Lcosθ/g) = 2π√(h/g)，其中 h = Lcosθ 是悬点到小球轨道平面的高度。所以周期只由 h 决定，与摆球质量无关；悬点相同、轨道平面也相同的两个圆锥摆，即使摆长不同，周期也相同。摆线的拉力 F = mg/cosθ，角速度越大，θ 越大，拉力越大。
汽车过拱桥时对桥的压力为什么小于重力？
在拱桥最高点，重力和支持力的合力提供向心力，方向向下：mg − N = mv²/R，所以 N = mg − mv²/R，小于重力，汽车处于失重状态，速度越大压力越小。当 v = √(gR) 时 N = 0，速度再大汽车就会飞离桥面。过凹形桥最低点时向心力向上：N − mg = mv²/R，N = mg + mv²/R，大于重力，处于超重状态，所以凹形路面容易爆胎。
竖直面内圆周运动的绳模型和杆模型，最高点的临界速度有什么不同？
轻绳拴小球（或小球沿圆轨道内侧运动）时，绳只能拉不能推，最高点 mg + T = mv²/R，T ≥ 0，所以最高点速度至少为 √(gR)，由机械能守恒，最低点速度至少为 √(5gR)。轻杆连小球（或小球在圆管内运动）时，杆既能拉也能推，最高点速度只要大于 0 就能通过，最低点速度至少为 2√(gR)；在最高点，v < √(gR) 时杆对球是向上的支持力，v = √(gR) 时杆对球没有作用力，v > √(gR) 时杆对球是向下的拉力。
绳拴小球在最低点的速度不够时会怎样运动？
设绳长 R、最低点速度 v0。v0 ≤ √(2gR) 时，小球最高只能到与圆心等高处，在下半个圆周内来回摆动，绳一直绷紧。√(2gR) < v0 < √(5gR) 时，小球越过水平直径后，在到达最高点之前绳的拉力减为零，绳松弛，小球开始做斜抛运动；松弛处满足 mg·cosα = mv²/R（α 为绳与竖直向上方向的夹角）。v0 ≥ √(5gR) 时小球能做完整的圆周运动。
适用课程
人教版高中物理必修第二册第六章《圆周运动》第 1 节“圆周运动”、第 2 节“向心力”、第 3 节“向心加速度”、第 4 节“生活中的圆周运动”，以及第八章《机械能守恒定律》中与竖直面内圆周运动结合的问题。常见题型有“转盘上物块的临界角速度、谁先滑动”“圆锥摆的拉力、周期与角速度”“圆锥筒内不同高度小球的 v、ω、T、a 比较”“汽车过拱桥、凹形桥的压力与临界速度”“绳模型、杆模型最高点的受力与临界条件”等。