简谐运动与单摆：振动图像、回复力、周期公式与测重力加速度
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t 图像）是一条正弦曲线，这样的振动就叫做简谐运动。从受力看，简谐运动的回复力与位移成正比、方向相反：F = −kx。弹簧振子是最简单的简谐运动，周期 T = 2π√(m/k)；单摆在摆角很小（一般不超过 5°）时也做简谐运动，周期 T = 2π√(l/g)，与摆球质量和振幅都无关。利用这个公式，测出摆长 l 和周期 T 就能算出当地的重力加速度 g = 4π²l/T²。
弹簧振子与振动图像
把小球（或滑块）连在弹簧一端，套在光滑水平杆上，忽略摩擦和弹簧质量，这样的系统叫弹簧振子。小球原来静止的位置叫平衡位置 O，把小球拉开后释放，它就在 O 两侧往复运动。
- 振动图像怎么得到：课本用频闪照相，每隔相同时间拍下振子的位置，把照片按时间顺序竖着排开，再把坐标轴转过来，各位置的连线就是 x-t 图像。也可以让振子带一支笔，在匀速拉动的纸带上画出图像。
- 位移：振动中的位移一律从平衡位置指向振子所在位置，与路程不同。
- 回复力：使振子回到平衡位置的力，F = −kx，是按效果命名的力，由弹簧弹力（单摆中是重力的分力）提供。加速度 a = −kx/m 与位移也成正比、方向相反，所以简谐运动是变加速运动。
- 能量：不计阻力时只有动能和弹性势能相互转化，机械能守恒。平衡位置速度最大、动能最大；最大位移处速度为零、势能最大。振幅越大，振动的能量越大。
描述简谐运动的物理量
| 物理量 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| 振幅 A | 振动物体离开平衡位置的最大距离 | 标量，表示振动的强弱；一次全振动的路程是 4A |
| 周期 T | 完成一次全振动所用的时间 | 弹簧振子 T = 2π√(m/k)，由振动系统本身决定，叫固有周期 |
| 频率 f | 单位时间内完成全振动的次数 | f = 1/T，单位赫兹（Hz） |
| 圆频率 ω | ω = 2π/T = 2πf | 弹簧振子 ω = √(k/m) |
| 相位 ωt + φ | 描述振动处在一个周期中的哪个状态 | t = 0 时的相位 φ 叫初相；从正向最大位移处释放，φ = π/2 |
x = A sin(ωt + φ) T = 2π/ω F = −kx
简谐运动和匀速圆周运动有密切联系：做匀速圆周运动的点在直径上的投影就是简谐运动，圆的半径就是振幅，转过的角度就是相位——模型里的“参考圆”演示的就是这一点。
单摆
细线一端固定，另一端拴一个小球，线的伸缩和质量都可以忽略、球的直径比线长短得多，这样的装置叫单摆。
- 回复力：摆线拉力和重力沿摆线方向的分力 mg cosθ 的合力提供向心力；重力沿圆弧切线方向的分力 F = mg sinθ 提供回复力。
- 做简谐运动的条件：摆角很小时 sinθ ≈ θ ≈ x/l，F ≈ −(mg/l)x，回复力与位移成正比、方向相反，单摆做简谐运动。摆角较大时 sinθ 比 θ 小，回复力偏小，周期会略长。
- 周期公式：T = 2π√(l/g)（惠更斯），l 是悬点到摆球球心的距离。周期与摆长、重力加速度有关，与摆球质量无关；摆角很小时与振幅也无关——这就是伽利略发现的单摆的等时性。
| 最大摆角 θ₀ | 实际周期 / 2π√(l/g) | 相对误差 |
|---|---|---|
| 5° | 1.0005 | 约 0.05% |
| 10° | 1.0019 | 约 0.2% |
| 20° | 1.0077 | 约 0.8% |
| 30° | 1.0174 | 约 1.7% |
| 60° | 1.0732 | 约 7.3% |
实验：用单摆测量重力加速度
- 取约 1 m 长的细线，一端拴一个密度大的小钢球，另一端用铁夹夹紧在铁架台上，使悬点固定。
- 用米尺量出摆线长 l′，用游标卡尺测出小球直径 d，摆长 l = l′ + d/2。
- 把摆球拉开一个很小的角度（不超过 5°）由静止释放，使它在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
- 摆球经过最低点（平衡位置）时开始计时，测出完成 30～50 次全振动的总时间 t，周期 T = t/n。
- 改变摆长，重复几次。用 g = 4π²l/T² 分别计算再求平均，或作 T²-l 图像，由斜率 k = 4π²/g 求出 g。
| 操作失误 | 用 g = 4π²l/T² 计算 | 用 T²-l 图像斜率计算 |
|---|---|---|
| 摆长只算线长，漏加小球半径 | l 偏小，g 偏小 | 图线平移、斜率不变，g 不受影响 |
| 把 n 次全振动记成 n + 1 次 | T 偏小，g 偏大 | 斜率偏小，g 偏大 |
| 开始计时时秒表过迟按下 | t 偏小，g 偏大 | — |
| 摆线上端没有夹紧，摆动中摆长变长 | T 偏大，g 偏小 | — |
用这个模型做实验
- “弹簧振子”场景：把振子拖到右侧 6 cm 处松手，看 x-t 图像画出一条正弦（余弦）曲线；勾选“频闪照片”，对照课本的频闪照片，靠近平衡位置时相邻像间距大、速度大。
- 打开速度、回复力和能量柱：在最大位移处 v = 0、F 最大，在平衡位置 F = 0、v 最大，动能和势能此消彼长、总和不变。
- 把振幅从 2 cm 改成 10 cm，面板里的周期不变；把质量加到 4 倍，周期变成 2 倍；把劲度系数加到 4 倍，周期变成一半。
- 勾选“参考圆”：紫色点做匀速圆周运动，它在水平直径上的投影始终与振子重合。切换到“t 轴向右”，就是课本常见的振动图像，标出了周期 T 和振幅 A。
- “单摆”场景：打开受力分解，看重力的切向分力 mg sinθ 指向平衡位置；改摆长看周期变化，切换到月球上，周期约变成地球上的 2.5 倍。
- 把摆角从 5° 加到 60°，勾选“对比小角度近似”：灰色虚线（理想简谐运动）和金色实线逐渐错开，下方曲线显示周期比 2π√(L/g) 长了 7%。
- “测重力加速度”场景：选几个摆线长，分别点“开始测量”（或“一键测 6 组”），看 T²-L 图像上的点落在一条直线上，由斜率求出 g；再取消“摆长 = 摆线长 + 小球半径”或勾选“数错”，比较两种处理方法受到的影响。
常见问题
什么样的运动是简谐运动？
从运动学看，物体的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，x-t 图像是正弦曲线，就是简谐运动；从动力学看，物体受到的回复力与位移大小成正比、方向总与位移相反，即 F = −kx，物体就做简谐运动。两种判断方法是等价的。弹簧振子、摆角很小的单摆都做简谐运动。
弹簧振子的周期和振幅有关吗？
无关。弹簧振子的周期 T = 2π√(m/k)，只由振子质量 m 和弹簧劲度系数 k 决定，叫做固有周期。振幅增大时，振子走的路程变长，但回复力和加速度也成比例增大，速度更快，完成一次全振动的时间不变。质量越大周期越长，弹簧越硬周期越短。
单摆的回复力是什么力提供的？
是重力沿圆弧切线方向的分力 mg sinθ。摆线的拉力和重力沿摆线方向的分力 mg cosθ 的合力提供摆球做圆周运动的向心力，不提供回复力。摆球经过最低点时回复力为零，但合力不为零（合力指向悬点，提供向心力），所以平衡位置不是受力平衡的位置。
单摆在什么条件下做简谐运动？
摆角很小时。摆角很小时 sinθ ≈ θ，摆球偏离平衡位置的位移 x ≈ lθ，回复力 F = −mg sinθ ≈ −(mg/l)x，与位移成正比、方向相反，满足简谐运动的条件。实验中一般要求摆角不超过 5°，此时用 T = 2π√(l/g) 计算周期的误差只有约 0.05%；摆角为 30° 时周期比公式值长约 1.7%。
单摆的周期与摆球质量有关吗？
无关。单摆周期 T = 2π√(l/g)，只与摆长 l 和当地重力加速度 g 有关。换一个更重的摆球，重力的切向分力变大，但需要加速的质量也同比例变大，加速度不变，周期不变。注意摆长 l 是悬点到摆球球心的距离；同一个单摆放到月球上（g 约为地球的 1/6），周期约变为地球上的 2.46 倍。
用单摆测重力加速度时，为什么从摆球经过最低点时开始计时，而且要测几十次全振动？
摆球经过最低点时速度最大，位置变化最快，人眼容易准确判断它经过的时刻，计时误差小；在最高点摆球速度为零、停留的“感觉”时间长，不容易判断。测 30～50 次全振动的总时间再除以次数，开始和停止计时的反应误差被分摊到每个周期上，周期的测量误差就小得多。
把摆线长当成摆长，用图像法求出的 g 会偏小吗？
不会。若把摆线长 l′ 当作摆长，T² = (4π²/g)(l′ + r)，T²-l′ 图像仍是一条直线，只是向左平移了小球半径 r，不再过原点（纵截距为正），斜率仍是 4π²/g，所以由斜率求出的 g 不受影响；但如果每组直接代入 g = 4π²l′/T² 计算，g 会偏小。这正是图像法的优点。
摆钟走慢了，应该怎样调节？
摆钟走慢说明摆的周期变长了，应该缩短摆长，即把摆锤向上调。由 T = 2π√(l/g) 可知周期随摆长减小而变短。把在北京校准好的摆钟拿到赤道附近，g 变小、周期变长，摆钟也会变慢；拿到高山上同样如此。
适用课程
人教版高中物理选择性必修第一册第二章《机械振动》：第 1 节“简谐运动”、第 2 节“简谐运动的描述”、第 3 节“简谐运动的回复力和能量”、第 4 节“单摆”、第 5 节“实验：用单摆测量重力加速度”。常见题型有“由振动图像读振幅、周期并判断各时刻的速度、加速度方向”“写出简谐运动的表达式”“简谐运动的对称性与能量”“单摆周期的计算与等效摆长”“摆钟快慢的调节”“用单摆测 g 的误差分析与图像法”等。阻尼振动、受迫振动与共振见本章第 6 节。