带电粒子在磁场中的运动
运动电荷在磁场中受到洛伦兹力 F = qvB（v 与 B 垂直时），方向用左手定则判断，总与速度垂直、不做功。带电粒子垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动：轨迹半径 r = mv/(qB)，与速度成正比；周期 T = 2πm/(qB)，与速度无关。在有界磁场中，先找圆心、再由几何关系求半径和圆心角，运动时间 t = θ/360° × T。
洛伦兹力
运动电荷在磁场中受到的力叫作洛伦兹力。电荷量为 q 的粒子以速度 v 垂直于磁场方向运动时，F = qvB；速度与磁场平行时 F = 0；夹角为 α 时 F = qvB sin α。方向用左手定则：让磁感线垂直穿入掌心，四指指向正电荷的运动方向（负电荷运动的反方向），拇指所指就是洛伦兹力的方向。洛伦兹力既垂直于速度，又垂直于磁场。
因为洛伦兹力总与速度垂直，它永远不对电荷做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
匀速圆周运动的半径和周期
qvB = mv²/r ⇒ r = mv/(qB)，T = 2πr/v = 2πm/(qB)
例：质子（m ≈ 1.67×10⁻²⁷ kg，q = 1.6×10⁻¹⁹ C）以 1.0×10⁶ m/s 垂直射入 B = 0.1 T 的匀强磁场，r = mv/(qB) ≈ 0.104 m ≈ 10.4 cm，T = 2πm/(qB) ≈ 6.6×10⁻⁷ s。速度加倍，半径变为 20.9 cm，周期仍是 6.6×10⁻⁷ s。
| 改变的量 | 半径 r = mv/(qB) | 周期 T = 2πm/(qB) |
|---|---|---|
| 速度 v 增大 | 增大（r ∝ v） | 不变 |
| 磁感应强度 B 增大 | 减小（r ∝ 1/B） | 减小（T ∝ 1/B） |
| 比荷 q/m 增大 | 减小 | 减小 |
| 电荷变号 | 不变 | 不变，但旋转方向相反 |
比较两种粒子时，常把 r 写成不同形式：动量相同时 r = p/(qB)，动能相同时 r = √(2mEk)/(qB)，由静止经电压 U 加速后 r = √(2mU/q)/B。例如质子和 α 粒子（4mp、2e）同速度射入时 r₁ : r₂ = 1 : 2，经同一电压加速后 r₁ : r₂ = 1 : √2，周期之比总是 1 : 2。
有界磁场：找圆心、定半径、求时间
- 找圆心：圆心在与速度垂直的直线上。过入射点、出射点分别作速度的垂线，交点就是圆心；或者作弦的中垂线与一条速度垂线相交。
- 定半径：由几何关系（勾股定理、三角函数）求出 r，再与 r = mv/(qB) 联立。
- 求时间：速度的偏转角 = 圆心角 θ = 2 × 弦切角，t = θ/360° × T = θm/(qB)（θ 用弧度）。
| 磁场边界 | 常用结论 |
|---|---|
| 直线边界 | 进、出磁场的速度与边界夹角相等（对称）；与边界成 α 角射入，圆心角为 2α 或 360° − 2α |
| 平行双边界 | 轨迹恰与另一边界相切是能否穿出的临界；垂直射入时 r > d 才能穿出，偏转角 sin θ = d/r |
| 圆形区域 | 沿半径射入必沿半径射出，tan(θ/2) = R/r，速度越大偏转角越小；r = R 时平行射入的粒子会聚于一点（磁聚焦） |
| 旋转圆 | 速度大小相同、方向不同：轨迹半径相同，圆心在以射出点为圆心、半径为 r 的圆上 |
| 放缩圆 | 速度方向相同、大小不同：圆心在过入射点、垂直于速度的直线上 |
在科技中的应用
- 质谱仪：电荷量相同、质量不同的粒子经同一电压加速后进入磁场，r = √(2mU/q)/B，质量大的半径大，打在底片的不同位置，可以分析同位素。
- 回旋加速器：粒子在 D 形盒中转半圈的时间 T/2 与速度无关，所以交变电压的周期等于粒子运动周期就能每次过缝都被加速；最大动能由 D 形盒半径决定，Ek = q²B²R²/(2m)。
用这个模型做实验
- 在「匀强磁场」里看速度 v（绿）和洛伦兹力 F（金）始终垂直，F 指向圆心；切换磁场方向或换负氢离子，看旋转方向反过来，用左手定则验证。
- 拖动速度滑块，半径随之变化；选「对比：同种粒子 2v」，两个粒子转一圈的时间相同，同时回到出发点。
- 选「换一种粒子」比较质子和 α 粒子：同速度时 α 粒子的半径和周期都是质子的 2 倍。增大 B，半径变小、转得更快。
- 到「有界磁场」选直线边界，拖动画面改变入射方向，看进出磁场时速度与边界夹角相等、圆心角为 2α 或 360° − 2α。
- 选平行双边界，点「取临界速度」看轨迹恰与上边界相切；再把速度调大一点或小一点，看粒子从哪条边界射出。
- 选圆形区域，把入射点拖到正中，验证沿半径射入沿半径射出；选「平行束」并点「令 r = R」，看磁聚焦。
- 选「旋转圆」「放缩圆」并勾选“各轨迹的圆心”，看圆心分别落在圆上和直线上。最后到「判断练习」做题。
常见问题
洛伦兹力的方向怎么判断？
用左手定则：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内；让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是运动的正电荷所受洛伦兹力的方向。负电荷受力方向与正电荷相反，可以让四指指向负电荷运动的反方向。洛伦兹力总垂直于速度和磁场所决定的平面。
带电粒子在匀强磁场中为什么做匀速圆周运动？
当速度方向与磁场垂直时，洛伦兹力 F = qvB 的方向始终与速度垂直，只改变速度的方向、不改变速度的大小，所以洛伦兹力的大小也不变，正好提供向心力，粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。如果速度与磁场平行，粒子不受洛伦兹力，做匀速直线运动；速度与磁场斜交时，粒子沿螺旋线运动。
半径和周期公式是什么？周期与速度有关吗？
由 qvB = mv²/r 得轨迹半径 r = mv/(qB)，周期 T = 2πr/v = 2πm/(qB)。半径与速度成正比，但周期与速度、半径都无关，只由比荷 q/m 和磁感应强度 B 决定：速度大的粒子转大圈，速度小的转小圈，转一圈所用的时间相同。回旋加速器正是利用了这一点。
有界磁场中怎样找圆心、求运动时间？
圆心一定在与速度垂直的直线上：过入射点和出射点分别作速度的垂线，交点就是圆心；也可以作弦的中垂线与一条速度的垂线相交。半径由几何关系或 r = mv/(qB) 求出。粒子速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角 θ，也等于弦切角的 2 倍，在磁场中运动的时间 t = θ/360° × T。
有界磁场有哪些常用结论？
从直线边界射入又射出时，进、出磁场的速度与边界的夹角相等；沿半径方向射入圆形磁场，必沿半径方向射出，偏转角 θ 满足 tan(θ/2) = R/r；轨迹恰好与边界相切是能否射出的临界情况；轨迹半径等于圆形磁场半径时，平行射入的粒子会聚于同一点，这叫磁聚焦。速度大小相同、方向不同时用“旋转圆”找临界轨迹，方向相同、大小不同时用“放缩圆”。
洛伦兹力会对粒子做功吗？
不会。洛伦兹力始终与速度方向垂直，所以对运动电荷永远不做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小和动能。导线受到的安培力是导线中大量定向移动的电荷所受洛伦兹力的宏观表现，安培力可以对导线做功，二者并不矛盾。
适用课程
人教版高中物理选择性必修第二册第一章《安培力与洛伦兹力》第 2 节“磁场对运动电荷的作用力”、第 3 节“带电粒子在匀强磁场中的运动”，以及第 4 节“质谱仪与回旋加速器”的原理部分。常见题型有“用左手定则判断洛伦兹力方向或粒子电性”“比较不同粒子的半径、周期之比”“直线、平行、圆形边界磁场中求半径、圆心角和运动时间”“求粒子恰好不射出磁场的临界速度”“旋转圆、放缩圆求粒子能到达的范围”等。