匀变速直线运动：打点计时器纸带、v-t 图像与位移
沿着一条直线、且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动。它的 v-t 图像是一条倾斜的直线：速度 v = v₀ + at，图线的斜率等于加速度 a；图线与 t 轴围成的面积等于位移 x = v₀t + ½at²。实验中用打点计时器在纸带上记录小车的运动，相邻计数点间的位移差 Δx 近似相等，就说明小车做匀变速直线运动；用 vn = (xn + xn+1)/(2T) 求出各计数点的瞬时速度，描点作 v-t 图像，或用逐差法，都可以求出加速度。
探究小车速度随时间变化的规律
课本实验：把附有滑轮的长木板平放在实验桌上，打点计时器固定在木板没有滑轮的一端；细绳一端拴在小车上、跨过滑轮挂上钩码，纸带穿过打点计时器连在小车后面。先接通电源，再释放小车，打点计时器就在纸带上打下一行小点。
- 打点计时器：使用交变电源，频率 50 Hz 时每隔 0.02 s 打一个点。电磁打点计时器用约 8 V 的低压交流电，电火花计时器用 220 V 交流电。
- 选取计数点：舍掉开头过于密集的点，从清晰的点开始，每 5 个间隔（即每隔 4 个点）取一个计数点，相邻计数点的时间间隔 T = 0.1 s。
- 测量：用毫米刻度尺量出相邻计数点间的距离 x1、x2……x6，估读到 0.1 mm。
- 求瞬时速度：某计数点的瞬时速度等于它前后两段的平均速度，vn = (xn + xn+1)/(2T)。
- 作 v-t 图像：以计数点 0 为计时起点描点，画一条直线让尽可能多的点落在线上，不在线上的点均匀分布在两侧，偏离较远的点舍去。图线的斜率就是加速度。
| 求加速度的方法 | 算式 | 特点 |
|---|---|---|
| 位移差法 | a = Δx / T² | 只用相邻两段，误差较大 |
| 逐差法 | a = [(x4 + x5 + x6) − (x1 + x2 + x3)] / (9T²) | 6 段数据都用上，减小偶然误差 |
| 图像法 | a = v-t 图线的斜率 Δv / Δt | 直观，能剔除偏离较大的点 |
速度与时间、位移与时间的关系
v = v₀ + at x = v₀t + ½at² v² − v₀² = 2ax
公式都是矢量式，先规定正方向（一般取初速度方向为正）：加速时 a 与 v₀ 同号，减速时 a 取负值。
- 斜率表示加速度：v-t 图线越陡，加速度越大；向上倾斜表示 a 为正，向下倾斜表示 a 为负。
- 面积表示位移：把运动分成许多小段，每段看作匀速，位移约等于小矩形面积之和；分得越细越接近梯形面积——这就是微元法。图线在 t 轴下方时，面积表示负方向的位移。
- x-t 图像：匀变速直线运动的 x-t 图像是抛物线的一部分，某点切线的斜率表示该时刻的速度。
- 刹车问题：汽车速度减到零后停止不动，要先算停车时间 t₀ = v₀/|a|，所给时间超过 t₀ 时位移按 t₀ 计算。
匀变速直线运动的推论
| 推论 | 表达式 | 在 v-t 图像上看 |
|---|---|---|
| 平均速度 = 中间时刻的速度 | v̄ = (v₀ + v)/2 = v(t/2) | 梯形面积 = 以中间时刻速度为高的矩形面积 |
| 中间位置的速度 | v(x/2) = √[(v₀² + v²)/2] | 总大于中间时刻的速度 |
| 连续相等时间内的位移差 | Δx = aT²，xm − xn = (m − n)aT² | 相邻两个梯形相差一个底 T、高 aT 的平行四边形 |
| 初速度为零：各 T 末速度之比 | 1 : 2 : 3 : … | 图线过原点 |
| 初速度为零：前 nT 内位移之比 | 1 : 4 : 9 : … | 三角形面积与 n² 成正比 |
| 初速度为零：第 n 个 T 内位移之比 | 1 : 3 : 5 : … | 每段由 1、3、5……个相同的小三角形组成 |
用这个模型做实验
- “打点纸带”场景，选 2 个钩码，点“释放小车”，看小车加速、纸带上的点越来越稀；纸带打完后读出 x1～x6，算出 Δx，判断是否近似相等。
- 对照描出的 v-t 图像：5 个点大致在一条直线上，拟合直线的斜率就是加速度，与面板里逐差法的结果比较；勾选“去掉读数误差”，两者都与理论值一致。
- 换成 1 个、4 个钩码再打一条纸带，看间距和 v-t 图线的倾斜程度怎样变化。
- “v-t 图像”场景，拖动图像改变时刻，看绿色面积与小球的位移同步增长；打开微元法，从 4 段到 64 段，矩形面积之和越来越接近精确值。
- 点“刹车”：v₀ = 10 m/s、a = −2 m/s²，看 5 s 后停下、6 s 内位移 25 m；再点“减速后反向”，看图线穿过 t 轴后面积变成负的，位移与路程不再相等。
- “推论”场景，依次看 1 : 3 : 5 的小三角形、Δx = aT² 的平行四边形和中间时刻速度的“割补”，与频闪照片上的间距对照。
常见问题
打点计时器打出的纸带怎样求某点的瞬时速度？
用这一点前后相邻两个计数点之间的平均速度来代替：vn = (xn + xn+1) / (2T)。匀变速直线运动中，一段时间中间时刻的瞬时速度恰好等于这段时间内的平均速度，所以这种做法是准确的，而不只是近似。注意 T 是计数周期：每 5 个间隔取一个计数点（或说“每隔 4 个点取一个计数点”）时 T = 5 × 0.02 s = 0.1 s。
怎样根据纸带判断小车做匀变速直线运动？
量出相邻计数点间的距离 x1、x2、x3……，如果相邻两段的位移差 Δx = x2 − x1 = x3 − x2 = … 在误差允许的范围内相等，小车就做匀变速直线运动；也可以描出各计数点的 v-t 图像，各点大致在一条倾斜的直线上，同样说明是匀变速直线运动。
什么是逐差法？为什么要用逐差法求加速度？
把 6 段位移分成前后两组，a = [(x4 + x5 + x6) − (x1 + x2 + x3)] / (9T²)。如果直接把相邻位移差 Δx 求平均，中间的数据会相互抵消，只剩 (x6 − x1) / (5T²)，只用到了首尾两个数据；逐差法让 6 个数据都参与计算，能减小偶然误差。用 v-t 图像的斜率求加速度也有同样的作用。
为什么 v-t 图像与 t 轴围成的面积等于位移？
匀速直线运动的 v-t 图像是水平线，位移 x = vt 正好是矩形面积。匀变速直线运动可以把时间分成很多小段，每一小段近似看作匀速，位移约等于各小矩形面积之和；分得越细，小矩形的面积之和越接近图线下的梯形面积，取极限就等于梯形面积，由此得到 x = v₀t + ½at²。这种“分割再求和”的思想叫微元法。图线在 t 轴下方时，面积表示负方向的位移。
汽车刹车问题为什么不能直接代入 x = v₀t + ½at²？
汽车刹车后速度减到零就停下，不会反向运动，而公式默认物体一直以加速度 a 运动。所以要先求刹车时间 t₀ = v₀ / |a|，若题目给的时间 t 大于 t₀，位移按 t₀ 计算。例如 v₀ = 10 m/s、a = −2 m/s² 的汽车 5 s 就停下，6 s 内的位移是 25 m，而不是代入公式得到的 24 m。
初速度为零的匀加速直线运动有哪些比例关系？
从静止开始，以相等的时间间隔 T 划分：1T 末、2T 末、3T 末……的速度之比为 1 : 2 : 3 : …；前 1T、前 2T、前 3T……内的位移之比为 1 : 4 : 9 : …；第 1 个 T、第 2 个 T、第 3 个 T……内的位移之比为 1 : 3 : 5 : …。在 v-t 图像上，每个 T 内的面积恰好由 1、3、5……个相同的小三角形组成。
实验中为什么要先接通电源，再释放小车？
打点计时器接通电源后需要一小段时间才能稳定打点。先接通电源再释放小车，能让纸带从一开始就打上清晰、稳定的点，也能充分利用纸带；如果先释放小车，小车运动很快，可能打出的点很少，甚至来不及打点。实验结束后要及时断开电源。
适用课程
人教版高中物理必修第一册第二章《匀变速直线运动的研究》：第 1 节“实验：探究小车速度随时间变化的规律”、第 2 节“匀变速直线运动的速度与时间的关系”、第 3 节“匀变速直线运动的位移与时间的关系”，以及第一章中打点计时器、v-t 图像的相关内容。常见题型有“纸带求瞬时速度和加速度（逐差法）”“由 v-t 图像求加速度和位移”“刹车陷阱”“初速度为零的比例”“Δx = aT² 的应用”等。